Вавилонська система числення презентації. Презентація до уроку іторію чисел та систем числення. Двійкова система числення
https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Непозиційні системи числення Непозиційна система числення - це така система числення, у якій положення цифри запису числа залежить величина, що вона позначає. Система може накладати певні обмеження на порядок цифр (розташування за зростанням або зменшенням). Прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій цифрами використовуються латинські літери. Презентацію виконали: Асташов Микита та Дарахович Данило
У стародавньому Вавилоні культура якого, зокрема і математична, була досить висока, існувала дуже складна шестидесяткова система. Думки істориків щодо того, як саме виникла така система, розходяться. Одна з гіпотез, у решті не особливо достовірна, полягає в тому, що відбулося змішання двох племен, одне з яких користувалося шестеричною системою, а інше – десятковою. Шістдесяткова система виникла як компроміс між цими двома системами. У вавилонській шестидесятковій системі числення, заснованої на позиційному принципі, використовувалися два символи, два види клинів, які є «цифрами» в цій системі числення Вавилонська система числення
Непозиційна система числення, яка використовувалася у Стародавньому Єгипті до початку X століття н.е. У цій системі цифрами були ієрогліфічні символи; вони означали числа 1, 10, 100 і т. д. до мільйона. Єгипетська система числення
Уна́рна (одинична, різна) система числення - непозиційна система числення з єдиною цифрою, що позначає 1. В якості єдиної «цифри» використовується «1», рисочка (|), камінчик, кісточка рахунок, вузлик, зарубка та ін. записується за допомогою одиниць. Наприклад, 3 у цій системі буде записано, як |||. Очевидно, це хронологічно перша система числення кожного народу, що опанував рахунок. Унарна система числення
Римські цифри - цифри, що використовувалися давніми римлянами у своїй непозиційній системі числення. Натуральні числа записуються з допомогою повторення цих цифр. При цьому, якщо велика цифра стоїть перед меншою, то вони складаються (принцип додавання), якщо ж менша стоїть перед більшою, то менша віднімається від більшої (принцип віднімання). Останнє правило застосовується лише щоб уникнути чотириразового повторення однієї й тієї цифри. Римські цифри з'явилися за 500 років до нашої ери у етрусків, які могли запозичувати частину цифр у прото-кельтів Римська система числення
Попередній перегляд:
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Непозиційні системи числення Виконав: Логінов Владислав
Непозиційні системи числення Непозиційна система числення - це така система числення, у якій положення цифри запису числа залежить величина, що вона позначає. Система може накладати певні обмеження на порядок цифр (розташування за зростанням або зменшенням).
Римська система числення Римська система числення - непозиційна система числення, в якій для запису чисел використовуються літери латинського алфавіту: 1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D та 1000 - M.
Грецька система числення Грецька система числення, також відома як іонійська або новогрецька - непозиційна система числення. Алфавітний запис чисел, в якому як символи для рахунку, вживають літери класичного грецького алфавіту, а також деякі літери докласичної епохи, такі як ϛ (стигма), ϟ (коппа) та ϡ (сампі).
Цифри майя Цифри майя - запис чисел, заснований на двадцятеричній позиційній системі числення, що використовувалася цивілізацією Майя в доколумбової Месоамериці.
Вавилонські цифри Вавилонські цифри - цифри, що використовувалися вавилонянами у своїй шестидесятковій системі числення. Вавилонські цифри записувалися клинописом - на глиняних табличках, поки глина ще м'яка, дерев'яною паличкою для письма чи загостреним очеретом видавлювали знаки.
Попередній перегляд:
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Роботу виконала Учениця 10 А класу Михальова Тетяна Непозиційні системи числення
Непозиційна система числення - це така система числення, у якій положення цифри у записі числа залежить величина, що вона позначає. Система може накладати певні обмеження на порядок цифр (розташування за зростанням або зменшенням).
Одинична (унарна) система У давні часи, коли почали вважати, з'явилася потреба у запису чисел. Кількість предметів, наприклад, мішків, зображувалася нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині, дереві (до винаходу паперу було ще дуже далеко). Кожному мішку у такому записі відповідала одна рисочка. Археологами знайдено такі «записи» при розкопках культурних верств, що належать до періоду палеоліту (10-11 тисяч років до н.е.). Сутність системи. Вчені назвали цей спосіб запису чисел одиничною (паличною) системою числення. У ньому для запису чисел застосовувався лише одне вид знаків - паличка. Кожне число в такій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеного з паличок, кількість яких дорівнювала числу, що позначається.
Давньоєгипетська десяткова непозиційна система Давньоєгипетська десяткова непозиційна система виникла в другій половині третього тисячоліття до н. Папір замінювала глиняна дошка, і саме тому цифри мають таке зображення. Єгиптяни придумали свою числову систему, у якій позначення ключових чисел 1, 10, 100 тощо. використовувалися спеціальні значки – ієрогліфи. Решта числа складалися з цих ключових з допомогою операції складання. Наприклад, щоб зобразити 3252 малювали три квітки лотоса (три тисячі), два згорнутих пальмових листи (дві сотні), п'ять дуг (п'ять десятків) та дві жердини (дві одиниці). Величина числа не залежала від того, в якому порядку розташовувалися його знаки: їх можна було записувати зверху вниз, праворуч наліво або впереміж. У давньоєгипетській системі числення використовувалися спеціальні знаки (цифри) для позначення чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105 106, 107. Числа в єгипетській системі числення записувалися як комбінації цих «цифр», в яких кожна « дев'ять разів. У основі як паличної, і давньоєгипетської систем числення лежав простий принцип складання, за яким значення числа дорівнює сумі значень цифр, що у його записи.
Римська система Прикладом непозиційної системи, яка збереглася донині, може бути система числення, яка застосовувалася понад дві з половиною тисячі років тому у Стародавньому Римі. Знайома нам римська система принципово відрізняється від єгипетської. Але вона більш поширена у наші дні: у книгах, у фільмах. Римські цифри користувалися дуже довго. Ще 200 років тому у ділових паперах числа мали позначатися римськими цифрами (вважалося, що звичайні арабські цифри легко підробити). Римська система числення сьогодні використовується в основному для найменування знаменних дат, томів, розділів та розділів у книгах. У ній для позначення чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 і 1000 використовуються великі латинські літери I, V, X, L, З, D і M (відповідно), що є «цифрами» цієї системи числення. В основі римської системи числення лежали знаки I (один палець) для числа 1, V (розкрита долоня) для числа 5, X (дві складені долоні) для 10, а для позначення чисел 100, 500 та 1000 стали застосовувати перші літери відповідних латинських слів (Сentum – сто, Demimille – половина тисячі, Мille – тисяча). Щоб записати число, римляни розкладали його на суму тисяч, півтисячі, сотні, півсотні, десятки, п'яти, одиниці. Для запису проміжних чисел римляни використовували як додавання, а й віднімання. При цьому застосовувалося таке правило: кожен менший знак, поставлений праворуч від більшого, додається до його значення, а кожен менший знак, поставлений ліворуч від більшого, віднімається від нього.
Алфавітна система Більш досконалими непозиційними системами числення були алфавітні системи. До таких систем числення належали слов'янська, іонійська (грецька), фінікійська та інші. Вони числа від 1 до 9, цілі кількості десятків (від 10 до 90) і цілі кількості сотень (від 100 до 900) позначалися літерами алфавіту. Алфавітна система була прийнята і в давньої Русі. Такий спосіб запису чисел, як і алфавітної системі, можна як зачатки позиційної системи, оскільки у ньому позначення одиниць різних розрядів застосовувалися одні й самі символи, яких лише додавалися спеціальні знаки визначення значення розряду. Алфавітні системи числення мало придатні для оперування з великими числами. У результаті розвитку людського суспільства ці системи поступилися місцем позиційним системам. У слов'янських народів числові значення букв встановилися як слов'янського алфавіту, який використовував спочатку глаголицю, та був кирилицю. Числа від 1 до 10 записували так: над літерами, що позначали числа, ставився спеціальний знак – титло. Це робилося для того, щоб відрізнити числа від звичайних слів: Цікаво, що числа від 11 (один на десять) до 19 (дев'ять-I на десять) записували так само, як говорили, тобто «цифру» одиниць ставили до «цифри десятків. Якщо число не мало десятків, то «цифру» десятків не писали.
Давньоєгипетська система Стародавні єгиптяни вигадали свою числову систему, в якій для позначення ключових чисел 1, 10, 100 і т.д. використовувалися спеціальні значки – ієрогліфи. Решта числа складалися з цих ключових з допомогою операції складання.
Римська система В основі римської системи числення лежали знаки I (один палець) для числа 1, V (розкрита долоня) для числа 5, X (дві складені долоні) для 10, а для позначення чисел С-100, D-500 та M- 1000 почали застосовувати перші літери відповідних латинських слів.
Алфавітні системи До таких систем числення належали грецька, слов'янська, фінікійська та інші. Вони числа від 1 до 9, цілі кількості десятків (від 10 до 90) і цілі кількості сотень (від 100 до 900) позначалися літерами алфавіту. У слов'янських народів числові значення букв встановилися як слов'янського алфавіту, який використовував спочатку глаголицю, та був кирилицю.
Цифри майя Запис чисел, заснований на двадцятеричній позиційній системі числення, що використовувалася цивілізацією Майя в доколумбовій Месоамериці.
Вавилонські цифри Цифри, що використовувалися вавилонянами у своїй шестидесятковій системі числення. Вавилонські цифри записувалися клинописом – на глиняних табличках, поки глина ще м'яка, дерев'яною паличкою для письма чи загостреною тростиною видавлювали знаки.
Дякую за перегляд
Тому що всі відтінки сенсу
розумне число передає ”
Микола Гумільов.
Системи числення
Редактор матеріалу вчитель ІКТ МБОУ ЦО – гімназії №11 м. Тули Акімов Д.Ф.
Що таке цифра?
Цифра- Це письмовий знак, що зображує число.
Система нумерації– спосіб з'єднання цифр для зображення великих чисел.
Розглянемо системи нумерації деяких народів.
Давньогрецька атична нумерація
Числа 1,2,3,4 позначалися рисками I, II, III, IIII, а число 5 записували знаком Г (стародавнє зображення літери “Пі”, з якої починається слово “пенте” - п'ять.
Числа 6,7,8,9 позначалися ГІ, ГІІ, ГІІІ, ГІІІІ, а число 10 позначалося ▲ (початкова літера у слові “десять”)
Числа 100,1000 та 10000 позначалися Н, Х, М – початковими літерами відповідних слів.
Числа 50,500 та 5000 позначалися комбінаціями знаків 5 та 10, 5 та 100, 5 та 1000, а саме
Інші числа в межах першого десятка тисяч записувалися так:
H H ГI = 256; X X I = 2051;
H H H ▲ ▲ ▲ I I = 382; X X H H H= 7800 і т.д.
Іонійська нумерація чисел
У третьому столітті до н. аттична нумерація була витіснена так званою іонійською системою. У ній числа 1-9 позначаються першими дев'ятьма літерами алфавіту:
числа 10, 20, 30, ..., 90 наступними дев'ятьма літерами:
числа 100, 200, 300, ..., 900 останніми дев'ятьма літерами:
Для позначення тисяч і десятків тисяч користувалися тими самими цифрами з додаванням значок ' збоку:
' α=1000 ' β=2000 і т.д.
Іонійська нумерація чисел
Для відмінності цифр від букв, що становлять слова, писали рисочки над цифрами
Ιη=18; μζ=47; υζ=407; χκα=621; χκ=620 і т.д.
α=1 β=2 γ=3 δ=4 ε=5 ς =6 ζ=7 η=8 θ=9
Альфа бета Гамма дельта епсілон фау дзета ця тета
ι=10 κ =20 λ=30 μ=40 ν=50 ξ=60 ο=70 π=80 Ϥ=90
йота каппа ламбда мю ню ксі омікрон пі коппа
ρ=100 σ=200 τ=300 υ=400 φ=500 χ=600 ψ=700 ω=800 ϡ=900
ро сигма тау юпсилон фі хі псі омега сампі
Таку ж алфавітну нумерацію мали в давнину євреї, араби та багато інших народів Близького Сходу і невідомо, у якого народу вона виникла вперше.
Слов'янська нумерація
Південні та східні слов'яни для запису чисел користувалися алфавітною нумерацією. У російських народів роль цифр грали в повному обсязі букви, лише ті, які є у грецькому алфавіті. Над буквою, що позначала букву ставився спец. значок – “ титло ”.
У Росії її слов'янська нумерація збереглася остаточно 17 століття. При Петра I взяла гору арабська нумерація (користуємося зараз). Слов'янська нумерація зберігалася лише у богослужбових книгах. Наведемо слов'янські цифри:
Θ Γ Δ Ε S Ζ І Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ч Ρ З Τ Υ Φ Χ Ψ Ω Ц
- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Κ Α =21 ΜΕ=45 ΨΒ=702 СΒ=202
У стародавньому Вавилоні - за 40 століть до нашого часу створилася помісна (позиційна) нумерація, тобто. такий спосіб зображення чисел, при якому одна і та ж цифра може позначати різні числа, дивлячись за місцем, яке займає ця цифра. У вавілонській системі ту роль, яку у нас відіграє число 10, відігравало число 60, тому цю нумерацію називають шістдесятковій .
Числа, менші за 60, позначалися за допомогою двох знаків: для одиниці та для десятка
Вони мали клиноподібний вигляд, т.к. вавилоняни писали на глиняних дощечках паличками трикутної форми. Ці знаки повторювалися потрібне число разів
Вавилонська помісна нумерація
Спосіб позначення чисел великих 60 показаний на рис:
5*60+2=302 21*60+35=1295
1*60*60 + 2*60 +5 =3725
Вавилонська помісна нумерація
За відсутності проміжного розряду використовувався символ, що грав роль нуля.
Наприклад, запис позначав 2*60*60 + 0*60 +3 =7203
60-річна запис цілих чисел не набула поширення за межами ассиро-вавилонского царства, але 60-річні дроби проникли далеко межі: до країн Близького Сходу, Середньої Азії, в Півн. Африку та Західну Європу. Сліди 60-річних дробів зберігаються донині у розподілі кутового і дугового градуса на 60 хв. та хвилини на 60 секунд.
Римські цифри
Стародавні римляни користувалися нумерацією, яка зберігається досі під ім'ям “римської нумерації”. Ми користуємося нею для позначення ювілейних дат, найменування з'їздів, нумерації розділів у книгах тощо.
У пізнішому вигляді римські цифри виглядають так:
I=1 V=5 X = 10 L=50 C=100 D=500 M=1000
Про походження римських цифр достовірних відомостей немає. Цифра V могла бути зображенням кисті руки, а цифра Х могла складатися з двох п'ятірок.
У римській нумерації виразно позначаються сліди п'ятирічної системи. У мові ж римлян (латинською) жодних слідів 5-річної системи немає. Значить, ці цифри були запозичені римлянами іншого народу (ймовірно в етрусків).
Римські цифри
Всі цілі числа (до 5000) записуються за допомогою повторення наведених вище цифр. При цьому якщо велика цифра стоїть перед меншою, то вони складаються, якщо ж менша стоїть перед більшою (у цьому випадку вона не може повторюватися), то менша віднімається від більшої. Наприклад:
VI = 6, тобто. 5+1 IV=4, тобто. 5-1
XL = 40, тобто. 50-10 LX = 60, тобто. 50+10
Підряд та сама цифра ставиться трохи більше 3 раз.
LXX=70;LXXX=80;число 90 записується XC (а чи не LXXXX).
Приклади XXVIII = 28; XXXIX=39; CCCXCVII = 397;
MDCCCXVIII = 1818.
Виконання арифметичних процесів над багатозначними числами у цій системі дуже складно. Проте, римська нумерація переважала Італії до 13 століття, а інших країнах Західної Європи – до 16 століття.
Індійська помісна нумерація
У різних галузях Індії існували різні системи. Одна з них поширилася у всьому світі і зараз є загальноприйнятою. У ній цифри мали вигляд початкових букввідповідних числівників давньоіндійською мовою – санскриту (алфавіт “деванагарі”).
Спочатку цими знаками були числа 1,2,3,…9,10,20,30,…90,100,1000; з допомогою записувалися інші числа.
Згодом було запроваджено спеціальний знак (жирна точка, кружок) для вказівки порожнього розряду; знаки для чисел, більших 9, вийшли з ужитку, і нумерація деванагарі перетворилася на 10-річну помісну систему.
Як і коли відбувся цей перехід – досі невідомо. У середині 8 століття позиційна система нумерації набуває в Індії широкого застосування.
Індійська помісна нумерація
Приблизно в цей час вона проникає до інших країн (Індокитай, Китай, Тибет, Іран, територія середньоазіатських республік). Вирішальну роль у поширенні індійської системи відіграло керівництво, складене на початку 9 століття узбецьким вченим Аль-Хорезмі (Китаб ал-джебр в'алнукабала). Це керівництво у Зап. Європі було переведено на лат. мова у 12 столітті. У 13 столітті індійська нумерація набуває переважання в Італії. В інших країнах Зап. Європи вона затверджується у 16 столітті.
Європейці, які запозичили інд. нумерацію від арабів, називали її "арабською". Ця історично неправильна назва утримується й досі.
Індійська помісна нумерація
З арабської мови запозичено і слово цифра (арабською "сифр"), що означало буквально "порожнє місце".
Це слово спочатку вживалося для найменування знака порожнього розряду і цей зміст зберігало ще в 18 столітті, хоча вже в 15 столітті виник латинський термін "нуль" (nullum - ніщо).
Форма індійських цифр зазнавала різноманітних змін. Та форма, в якій ми їх пишемо зараз, встановилася у 16 столітті.
Система числення – це спосіб запису чисел за допомогою цифр та символів.
C.C. діляться на позиційні та непозиційні
У позиційній С.С. вага цифри залежить від її розташування, “позиції” в числі (60-річна вавилонська, наша 10-річна)
Підставою (базою) С.С. називається кількість цифр і символів, які у ній. Підстава С.С. показує, скільки разів чисельне значення одиниці даного розряду більше чисельного значення одиниці попереднього розряду.
Така звична для нас 10 С.С. виявилася незручною для ЕОМ (реалізувати елемент із 10 станами складно, і з двома – легко). Тож у пам'яті ЕОМ інформація представляється у двійковій С.С.
Двійкова система числення
У 2 с.с. використовуються лише дві цифри: 0 і 1. Підстава 2 с.с. записується як 10. Наприклад, подання числа 8 в 2 с.с. виглядає так: 1000 2 = 8 10
1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +0*2 0 =8
Арифметичні дії в 2 с.с. виконуються за тими ж правилами, що і в 10 с.с. , тільки в 2 с.с. перенесення одиниць у старший розряд виникає частіше, ніж у 10 с.с.
Таблиця складання Таблиця віднімання Таблиця множення
0+0=0 0-0=0 0*0=0
0+1=1 1-0=1 0*1=0
1+0=1 1-1=0 1*0=0
1+1=10 10-1=1 1*1=1
Десятковий Двійковий
Десятковий Двійковий
Двійкова система числення Приклади
1. Оскільки основа 2 с.с. мало, для запису навіть невеликих чисел доводиться використовувати багато знаків. Наприклад, число 1000 записується в 2 с.с. за допомогою десяти цифр:
1000 10 = 1111101000 2 = 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 +2 3
Однак цей недолік окупається перевагами, пов'язаними з апаратною реалізацією (за принципом "Ні" працюють всі напівпровідникові елементи).
2. Природні можливості людського мислення неможливо швидко і точно оцінити величину числа, представленого, наприклад, комбінацією з 16 нулів і одиниць.
Нестача двійкової системи числення
Для полегшення сприйняття людиною двійкового числа вирішили розбивати його групи розрядів, наприклад, по 3 чи 4 розряду. Ця ідея виявилася успішною, т.к. послідовність із 3 біт має 8 комбінацій, а послідовність із 4 біт - 16 комбінацій. Числа 8 і 16 є ступенями двійки, тому легко знаходитиме відповідність із двійковими числами.
Розвинувши цю ідею, дійшли висновку, що групи розрядів можна закодувати, скоротивши у своїй довжину послідовності символів. Для кодування трьох бітів (тріад) потрібно 8 цифр, тому взяли цифри від 0 до 7 десяткової с.с. Для кодування чотирьох бітів (зошит) необхідно 16 знаків, для цього взяли 10 цифр десяткової с.с. та 6 букв лат. алфавіту A, B, C, D, E, F. Отримані системи назвали 8-річною та 16-річною.
Десятичне
8-річне число
число
Послідовність з тріад
16-річне число
Послідовність з зошит
Метод тріад та зошит
Для перетворення дв. числа у вісімкове число необхідно двійкову послідовність розбити на тріади праворуч наліво і кожну тріаду замінити відповідною 8-річною цифрою. Аналогічно і при перетворенні на 16-річний код, лише двійкову послідовність розбиваємо на зошити, а для заміни використовуємо 16-річні знаки.
Наприклад:
треба перекласти 1101011101 із дв. у 8-річну с.с.
- Розбиваємо на тріади справа наліво.
2. Кожну тріаду замінюємо відповідною 8-річною цифрою 1 5 3 5. Це і буде відповідь.
001 101 011 101 2 =1535 8
Метод тріад та зошит
Так само просто здійснюється і зворотне перетворення – для цього кожну цифру 8 чи 16-річного числа замінюють групою із 3 або 4 біт. Наприклад:
AB51 16 = 1010 1011 0101 0001 2
177204 8 = 1 111 111 010 000 100 2
Виконання арифметичних дій
При роботі у 8- та 16-річній с.с. треба пам'ятати, що якщо має місце перенесення, то переноситься не 10, а 8 або 16. Приклади:
27,2643 8 _ 115,3564 8
46,1154 8 55,7674 8
75,4017 8 37,3670 8
287,АВ _ EC2A,82
2ЕD,0D 16 2EAD,E8
Переведення чисел з однієї системи числення до іншої
Отже, ми освоїли 4 системи числення”
"Машинну" - двійкову;
"людську" - десяткову
і дві проміжні - 8 і 16-річну.
Кожна їх застосовується у різних процесах, що з ЕОМ:
2 с.с. – для організації машинних операцій із перетворення інформації;
8 та 16 с.с. – для представлення машинних кодів у вигляді, зручному для роботи професійних користувачів (програмістів та апаратників);
10 с.с. – для представлення результатів діяльності ЕОМ, які відображаються на пристроях вводу/виводу.
Тому в машині постійно відбуваються процеси перетворення чисел із однієї с.с. до іншої.
Переклад чисел 10 с.с. виконується способом підсумовування з урахуванням ваги розрядів
1101,011 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 0 +1*2 -2 +1*2 -3 = =8+4+1+0,25+0,125= 13,375
142,4 8 =1*8 2 +4*8 1 +2*8 0 +4*8 -1 = =64+32+2+0,5= 98,5
12E,6 16 =1*16 2 +2*16 1 +14*16 0 +6*16 -1 = =256+32+14+0,375= 302,375
Переклад чисел із 10 с.с. в іншу систему
Зазвичай виконується методом послідовного поділу вихідного числа на основу с. Отриманий залишок після першого поділу є найменшим розрядом нового числа. Приватне, що утворилося, знову ділиться на цю підставу. З залишку одержуємо наступний розряд нового числа і т.д.
Приклад: _212 2212 10 =11010100 2
Перекладемо десяткове число31318 о 8 с.с.
Приклад2: _31318 8 31318 10 = 75126 8
Перекладемо десяткове число 286 до 16 с.с.
Приклад3: _286 16286 10 = 11Е 16
Список використаної літератури
- С.І. Фомін. Популярні лекції з математики. Випуск 40. Системи числення. М: Наука, 1980.
- М.Я. Вигодський. Довідник з математики.
1 із 31
Презентація - Системи числення
Текст цієї презентації
Тема «Системи числення»
Вступ
Сучасна людина у повсякденному житті постійно стикається з числами та цифрами – вони з нами скрізь. Різні системи числення використовуються завжди, коли виникає потреба у числових розрахунках, починаючи з обчислень учнями молодших класів, виконуваних олівцем на папері, закінчуючи обчисленнями, виконуваними суперкомп'ютерах.
Система числення – це певний спосіб представлення чисел і відповідні правила дії з них. Мета створення системи числення - вироблення найбільш зручного способузапису кількісної інформації.
Історія систем числення
Системи числення
Позиційні
Непозиційні
Стародавні системи числення:
Поодинока система Давньогрецька нумерація Слов'янська нумерація Римська нумерація
Позиційні та непозиційні системи числення
Непозиційні системи Позиційні системи
Від положення цифри у записі числа залежить величина, що вона позначає. Величина, що позначається цифрою запису числа, залежить від її позиції. Основа – кількість використовуваних цифр. Позиція – місце кожної цифри.
Запис числа у позиційній системі числення
Будь-яке ціле число в позиційній системі можна записати у формі багаточлена: Хs = An · Sn-1 + An-1 · Sn-2 + An-2 · Sn-3 + ... + A2 · S1 + A1 · S0 де S - основа системи числення, А – цифри числа, записаного у цій системі числення, n - кількість розрядів числа. Так, наприклад число 629310запишеться у формі багаточлена наступним чином: 629310 = 6 · 103 + 2 · 102 + 9 · 101 + 3 · 100
Приклади позиційних систем числення:
Двійкова Система числення з основою 2 використовуються два символи - 0 і 1.
Вісімкова Система числення з основою 8, використовуються цифри від 0 до 7.
Десятична Система з основою 10, найпоширеніша система числення у світі.
Дванадцяткова Система з основою 12. Використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B.
Шістнадцяткова З основою 16, використовуються цифри від 0 до 9 і латинські літери від A до F для позначення цифр від 10 до 15.
Шістдесяткова Система з основою 60, використовується у вимірі кутів і, зокрема, довготи та широти.
Історія двійкової системи числення
Двійкова система числення була придумана математиками та філософами ще до появи комп'ютерів (XVII – XIX ст.). Пропагандистом двійкової системи був знаменитий Г.В. Лейбніц. Він наголошував на особливій простоті алгоритмів арифметичних дій у двійковій арифметиці порівняно з іншими системами і надавав їй певного філософського змісту. У 1936 – 1938 роках американський інженер та математик Клод Шеннон знайшов чудові застосування двійкової системи при конструюванні електронних схем.
Двійкова система числення
Двійкова система числення (бінарна система числення, binary) - позиційна система числення з підставою 2. Незручністю цієї системи числення є необхідність переведення вихідних даних з десяткової системи в двійкову при введенні їх у машину та зворотного переведення з двійкової до десяткової при виведенні результатів обчислень. Головна перевага двійкової системи - простота алгоритмів складання, віднімання, множення та поділу.
Додавання, віднімання, множення та розподіл у двійковій системі числення
Додавання Віднімання Умноження Поділ
0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1+0=1; 1 + 1 = 10. 0 – 0 = 0; 1 – 0 = 1; 1 – 1 = 0; 10 – 1 = 1. 0 · 1 = 0; 1 · 1 = 1. 0/1 = 0; 1/1 = 1.
Двійкове кодування у комп'ютері
Наприкінці ХХ століття, століття комп'ютеризації, людство користується двійковою системою щодня, оскільки вся інформація, оброблена сучасними ЕОМ, зберігається у них у двійковому вигляді. У сучасні комп'ютери ми можемо вводити текстову інформацію, числові значення, а також графічну та звукову інформацію. Кількість інформації, що зберігається в ЕОМ, вимірюється її «довжиною» (або «об'ємом»), що виражається в бітах (від англійської binary digit – двійкова цифра).
Переведення чисел з однієї системи числення до іншої
8
16
Висновок
Найвищим досягненням стародавньої арифметики є відкриття позиційного принципу уявлення чисел. Потрібно визнати важливість не лише найпоширенішої системи, якою ми користуємося щодня. Але й кожній окремо. Адже в різних областях використовуються різні системи числення, зі своїми особливостями та характерними властивостями.
Десяткова Двійкова Вісімкова Шістнадцяткова
1 001 1 1
2 010 2 2
3 011 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
Переклад двійкового числа до десяткового
Для переведення двійкового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 2, та обчислити за правилами десяткової арифметики: Х10= Аn·2n-1 + Аn-1·2n-2 + Аn-2 · 2n-3 + ... + А2 · 21 + А1 · 20
Переклад чисел
Переведення восьмеричного числа до десяткового
Для переведення восьмеричного числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 8, та обчислити за правилами десяткової арифметики: Х10= Аn·8n-1 + Аn-1·8n-2 + Аn-2 · 8n-3 + ... + А2 · 81 + А1 · 80
Переклад чисел
Переклад шістнадцяткового числа в десяткове
Для переведення шістнадцяткового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 16, та обчислити за правилами десяткової арифметики: Х10= Аn·16n-1 + Аn-1·16n-2 + Аn-2 · 16n-3 + ... + А2 · 161 + А1 · 160
Переклад чисел
Переведення десяткового числа у двійкову систему
Для переведення десяткового числа в двійкову систему його необхідно послідовно ділити на 2 доти, доки залишиться залишок, менший чи рівний 1. Число в двійковій системі записується як послідовність останнього результату поділу і залишків від поділу у зворотному порядку. Приклад: Число 2210 перевести в двійкову систему числення: 2210 = 101102
Переклад чисел
Переведення десяткового числа у вісімкову систему
Для переведення десяткового числа у вісімкову систему його необхідно послідовно ділити на 8 до тих пір, поки не залишиться залишок, менший або рівний 7. Число у вісімковій системі записується як послідовність цифр останнього результату поділу та залишків від поділу у зворотному порядку. Приклад: Число 57110 перевести у вісімкову систему числення: 57110 = 10738
Переклад чисел
Переведення десяткового числа у шістнадцяткову систему
Для переведення десяткового числа в шістнадцяткову систему його необхідно послідовно ділити на 16 до тих пір, поки не залишиться залишок, менший або рівний 15. Число в шістнадцятковій системі записується як послідовність цифр останнього результату поділу та залишків від поділу у зворотному порядку. Приклад: Число 746710 перевести в шістнадцяткову систему числення: 746710 = 1D2B16
Переклад чисел
Переведення чисел із двійкової системи у вісімкову
Щоб перевести число із двійкової системи у вісімкову, його потрібно розбити на тріади (трійки цифр), починаючи з молодшого розряду, у разі потреби доповнивши старшу тріаду нулями, і кожну тріаду замінити відповідною вісімковою цифрою. При перекладі необхідно користуватися двійково-восьмеричною таблицею: Приклад: Число 10010112 перевести у вісімкову систему числення: 0010010112 = 1138
8-на 0 1 2 3 4 5 6 7
Переклад чисел
Переведення з двійкової системи до шістнадцяткової
Щоб перевести число з двійкової системи до шістнадцяткової, його потрібно розбити на зошити (четвірки цифр). Двійково-шістнадцяткова таблиця: Приклад: Число 10111000112 перевести в шістнадцяткову систему числення: 0010 1110 00112 = 2E316
16-на 0 1 2 3 4 5 6 7
16-а 8 9 A B C D E F
Переклад чисел
Переведення восьмеричного числа в двійкове
Для переведення восьмеричного числа до двійкового необхідно кожну цифру замінити еквівалентною їй двійковою тріадою. Приклад: Число 5318 перевести в двійкову систему числення: 5318 = 1010110012
2-а 000 001 010 011 100 101 110 111
8-на 0 1 2 3 4 5 6 7
Переклад чисел
Переведення шістнадцяткового числа в двійкове
Для переведення шістнадцяткового числа в двійкове необхідно кожну цифру замінити еквівалентним їй двійковим зошитом. Приклад: Число ЕЕ816 перевести в двійкову систему числення: ЕЕ816 = 1110111010002
2-а 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
16-на 0 1 2 3 4 5 6 7
2-а 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
16-а 8 9 A B C D E F
Переклад чисел
Переклад з вісімкової системи числення до шістнадцяткової і назад
При переході з вісімкової системи числення в шістнадцяткову і назад необхідний проміжний переведення чисел у двійкову систему. Приклад 1: Число FEA16 перевести у восьмеричну систему числення: FEA16 = 1111111010102 = 1111111010102 = 77528 Приклад 2: Число 66358 перевести в шістнадцяткову систему числення: 61101 = 1012 = D9D16
Переклад чисел
Поодинока система
У давнину, коли з'явилася потреба у записі чисел, кількість предметів, зображалося нанесенням рисок чи засічок будь-якої твердої поверхні. Археологами знайдено такі «записи» під час розкопок культурних верств, що належать до періоду палеоліту (10–11 тисяч років до н.е.). У такій системі застосовувався лише один вид знаків – паличка. Кожне число позначалося за допомогою рядка, складеного з паличок, кількість яких дорівнювала числу, що позначається.
Стародавні системи числення
Давньогрецька нумерація
Атична нумерація
Іонійська система
У третьому столітті до н. аттична нумерація була витіснена іонійською системою.
Найдавніший час у Греції була поширена атична нумерація.
Стародавні системи числення
Слов'янська нумерація
У Росії її слов'янська нумерація збереглася остаточно XVII століття. Південні та східні слов'янські народи для запису чисел користувалися абетковою нумерацією. Слов'янська нумерація зберігалася лише у богослужбових книгах. Над літерою, що позначала цифру, ставився спеціальний значок: (Тітло). Для позначення тисяч перед числом (ліворуч унизу) ставився особливий знак.
Z
Стародавні системи числення
Римська нумерація
Стародавні римляни користувалися нумерацією, яка зберігається досі під ім'ям «римської нумерації». Ми користуємося для позначення століть, ювілейних дат, найменування з'їздів і конференцій, для нумерації розділів книги або строф вірша.
I - 1 V - 5 X - 10 L - 50 C - 100 D - 500 М - 1000
Запис цифр у римській нумерації:
Стародавні системи числення
Іонійська система
Позначення чисел в іонійській системі нумерації
Позначення чисел у давньослов'янській системі нумерації
Слов'янська нумерація
Код для вставки відеоплеєра презентації на свій сайт:
Cлайд 1
Cлайд 2
Вавилонська шістдесяткова система За дві тисячі років до нашої ери, в іншій великій цивілізації – вавілонській – люди записували цифри по-іншому. Числа в цій системі числення складалися із знаків двох видів: Прямий клин (служив для позначення одиниць) Лежачий клин (для позначення десятків) Число 60 позначалося знаком, що 1
Cлайд 3
Для визначення значення числа треба було зображення числа розбити праворуч наліво. Чергування груп однакових знаків («цифр») відповідало чергуванню розрядів: Значення числа визначали за значеннями його «цифр», але з урахуванням того, що «цифри» в кожному наступному розряді означали в 60 разів більше тих же «цифр» у попередньому розряді .
Cлайд 4
1. Число 92 = 60 + 32 записували так: 2. Число 444 мало вигляд: НАПРИКЛАД: 444 = 7 * 60 + 24. Число складається з двох розрядів
Cлайд 5
Для визначення абсолютного значення числа були потрібні додаткові відомості. Згодом вавилоняни запровадили спеціальний символ для позначення пропущеного шістдесятичного розряду, що відповідає в десятковій системі появі цифри 0 у записі числа. Число 3632 записувалося так: Наприкінці числа цей символ зазвичай не ставився. Таблицю множення вавилоняни будь-коли запам'ятовували, т.к. зробити це практично неможливо. При обчислення вони користувалися готовими таблицями множення.
Cлайд 6
Шістдесяткова вавілонська система – перша відома нам система числення, заснована на позиційному принципі. Система вавилонян зіграла велику роль у розвитку математики та астрономії, її сліди збереглися до наших днів. Так, ми й досі ділимо годину на 60 хвилин, а хвилину на 60 секунд. Коло ми ділимо на 360 частин (градусів).
Cлайд 7
РИМСЬКА СИСТЕМА У римській системі позначення чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 і 1000 використовуються великі латинські літери I, V, X, L, C, D і M (відповідно), що є «цифрами» цієї системи числення. Число в римській системі числення позначається набором «цифр», що стоять поспіль.
Cлайд 8
Таблиця позначення чисел римськими цифрами Одиниці Десятки Сотні Тисячі I 10 X C 1000 M II XX CC 2000 MM 3 III XXX CCC 3000 MMM IV 40 XL 400 CD V 50 L 500 D VI LX 600 DC VII LX 900 CM
Cлайд 9
Системи числення. 4
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.. 10
Додаток . 11
ВСТУП
У процесі вивчення систем числення особливий інтерес представляє так звана "вавилонська", або шістдесяткова система числення, дуже складна система, що існувала в Стародавньому Вавилоні.
Думки істориків щодо того, як саме виникла ця система числення, розходяться.
Існують дві гіпотези.
Перша виходить із того, що сталося злиття двох племен, одне з яких користувалося шестериною, інше – десятковою. Шістдесяткова система числення в даному випадку могла виникнути внаслідок своєрідного політичного компромісу.
Суть другої гіпотези в тому, що давні вавилоняни вважали тривалість року, що дорівнює 360 діб, що природно пов'язано з числом 60. Відлуння використання цієї системи числення дійшли до наших днів. Наприклад: 1 година = 60 хвилин, 1 ° = 60 '.
Загалом шістдесяткова система числення громіздка.
Системи числення
Інтуїтивне уявлення про кількість, мабуть, так само старе, як і саме людство, хоча з достовірністю простежити всі ранні етапи його розвитку в принципі неможливо. Перш ніж людина навчилася вважати або вигадала слова для позначення чисел, вона, безсумнівно, володіла наочним, інтуїтивним уявленням про число, що дозволяло йому розрізняти одну людину і двох людей або двох і багатьох людей.
Те, що первісні люди спочатку знали тільки "один", "два" і "багато", підтверджується тим, що в деяких мовах, наприклад у грецькій, існують три граматичні форми: однини, двоїни і множини. Пізніше людина навчилася робити відмінності між двома та трьома деревами та між трьома та чотирма людьми.
Рахунок спочатку був із цілком конкретним набором об'єктів, і перші назви чисел були прикметниками. Наприклад, слово "три" використовувалося тільки в поєднаннях "три дерева" або "три людини"; уявлення про те, що ці множини мають між собою щось спільне - поняття троїчності - вимагає високого ступеня абстракції. Про те, що рахунок виник раніше появи цього рівня абстракції, свідчить той факт, що слова "один" і "перший", так само як "два" та "друга", у багатьох мовах не мають між собою нічого спільного, тоді як лежать поза межами первісного рахунки " один " , " два " , " багато " , слова " три " і " третій " , " чотири " і " четвертий " ясно вказують на взаємозв'язок між кількісними і порядковими числівниками.
Назви чисел, що висловлюють досить абстрактні ідеї, з'явилися, безсумнівно, пізніше, ніж перші грубі символи позначення кількості об'єктів у певній сукупності. У давнину примітивні числові записи робилися у вигляді зарубок на палиці, вузлів на мотузку, викладених у ряд каменів, причому передбачалося, що між елементами множини, що перераховуються, і символами числового запису існує взаємно однозначна відповідність. Але для читання таких числових записів назви чисел безпосередньо не використовувалися.
Нині ми з першого погляду розпізнаємо сукупності із двох, трьох та чотирьох елементів; Дещо важче розпізнаються на погляд набори, що складаються з п'яти, шести або семи елементів. А за цим кордоном встановити на око їх число практично вже неможливо, і потрібен аналіз або у формі рахунку, або у певному структуруванні елементів. Рахунок на бірках, мабуть, був першим прийомом, який використовувався в подібних випадках: зарубки на бірках розташовувалися певними групами, подібно до того, як при підрахунку виборчих бюлетенів їх часто групують пачками по п'ять або десять штук. Дуже широко поширений рахунок на пальцях, і цілком можливо, що назви деяких чисел беруть свій початок саме від цього способу підрахунку.
Важлива особливість рахунку полягає у зв'язку назв чисел із певною схемою рахунку. Наприклад, слово "двадцять три" - не просто термін, що означає цілком певну (за кількістю елементів) групу об'єктів; це термін складової, що означає "двічі по десять і три". Тут чітко видно роль числа десять як колективної одиниці чи основи; і справді, багато хто вважає десятками, бо, як зазначив ще Аристотель, у нас по десять пальців на руках і на ногах. З тієї ж причини використовувалися п'ять або двадцять підстав.
На ранніх стадіях розвитку історії людства за підстави системи числення приймалися числа 2, 3 чи 4; іноді для деяких вимірів або обчислень використовувалися підстави 12 і 60. Вважати людину почав задовго до того, як вона навчилася писати, тому не збереглося жодних письмових документів, які свідчили про ті слова, якими в давнину позначали числа. Для кочових племен характерні усні назви чисел, що стосується письмових, то необхідність у них виникла лише з переходом до осілого способу життя, утворенням землеробських угруповань. Виникла і необхідність у системі запису чисел, і саме тоді було закладено основу розвитку математики.
Історія появи вавілонської системи числення
Вавилонська система числення з'явилася в Стародавньому Вавилоні за 2000 років до н. Вона дуже вплинула на писемність загалом майбутнього світу.
Вавилонська система (шістдесяткова) одна з перших відомих систем числення світу, заснована на позиційному принципі. Система числення Вавилона зіграла величезну роль розвитку математики, астрономії та інших точних наук майбутнього світу, її сліди знаходять до нашого часу.
У наш час ми ділимо одну годину на 60 хвилин, а хвилину ділимо на 60 секунд. Також коло ми ділимо на 360 частин. Виявляється тими простими поділами ми наслідуємо приклад Вавилона!
У своєму розвитку людство намагалося вдосконалювати запис чисел, якими їм доводилося користуватися все частіше і частіше, у різних народів у різні часи вживалися різні системи рахунку. У цій системі числення числа складалися з двох видів знаків. Прямий клин використовувався для позначення одиниць, а лежачий клин – для позначення десятків. Клини в цій системі числення використовувалися як цифри. Число 60 знову позначалося тим самим прямим клином, як і 1. Тим самим знаком позначалися числа 3600 і 602, 216000 і 603, й інші ступеня 60. Тому вавилонська система числення називається шестидесятковою.
Щоб визначити значення знака, треба було зображення цього числа розбити на розряди праворуч наліво. Чергування груп, що мають однакові знаки, відповідало чергуванню розрядів. Значення числа визначалося за складовими значеннями його цифр, але з тим, що цифри в кожному наступному розряді означали в 60 разів більше тих цифр у попередньому розряді. Наприкінці числа цей символ зазвичай не ставився, тобто цей символ не був банкрутом у нашому розумінні.
Таблицю множення у Вавилоні запам'ятати практично неможливо. Вавилонці користувалися готовими таблицями множення при обчисленнях. Загалом вавілонська система була дуже громіздка та незручна. Ця система дала дуже сильний поштовх до розвитку майбутніх систем числення... Зараз можна сказати з упевненістю, що якби не було вавілонської системи числення, то можливо ми зараз або користувалися б іншими системами, або не могли просто вважати.
Особливості вавілонської системи числення
У Стародавньому Вавилоні, бл. 1650 до н.е., система числення була псевдопозиційною або лише щодо позиційної, оскільки не існувало еквівалента сучасної десяткової коми, як і символу для позначення відсутньої позиції. Чи позначав символ
число 1 * (60) 2 + 1 або 1 * (60) 2 + 1 * (60), доводилося здогадуватися з контексту. Однак у період правління селевкідів, бл. 300 до н.е., ця неоднозначність була усунена введенням спеціального символу у вигляді двох невеликих клинів, що поміщається на місце, що пустує, тобто. позначає порожню позицію запису числа. Таким чином, із системи числення було усунено зазначену вище неоднозначність. Наприклад, символ
означало число 3601, тобто. 1*(60)2 + 0*(60) + 1. У той самий час був знайдено жодної таблички із записом, у якій символ нуля був у кінці числа.
Саме тому вавилонську систему ми вважаємо лише щодо позиційної, бо самий правий знак міг означати або одиниці, або кратні якогось ступеня числа 60. Проте винахід вавилонянами позиційної системи числення з нулем був величезним досягненням, за своїм революційним значенням для математики порівнянний хіба що з пізнішою гіпотезою Коперника в астрономії.
Символи для позначення чисел на вавилонських глиняних табличках не такі точні, як символи для позначення чисел на давньоєгипетських папірусах, незважаючи на те, що вавилоняни використовували позиційний принцип.
У виняткових випадках вавилоняни застосовували скорочені форми запису, іноді з новими символами для позначення чисел 100 і 1000, або використовували принципи множення або віднімання. Проте перевага розробленої Месопотамії системи числення чітко видно у позначенні дробів. Тут не потрібно вводити нові символи. Як і в нашій власній десятковій позиційній системі, в давньовавилонській системі малося на увазі, що на першому місці праворуч від одиниць стоять величини, кратні 1/60, на другому місці - величини кратні 1/602 і т.д. Звичне нам розподіл години і кутового або дугового градуса на 60 хвилин, а однієї хвилини - на 60 секунд бере початок від вавілонської системи числення.
Але для запису чисел більше 59 давні вавилоняни вперше використали новий принцип - одне з найвидатніших досягнень у розвитку систем позначень чисел - принцип позиційності, тобто важливість. залежності значення символу від його розташування у записі числа. Вавилоняни помітили, що в якості колективних символів вищого порядку можна застосовувати вже раніше використані символи, якщо вони займатимуть у записі числа нове положення лівіше за попередні символи. Так, один клиноподібний знак міг використовуватися для позначення і 1, і 60, і 602, і 603, залежно від займаного ним у записі числа положення, подібно до того, як одиниця в наших позначеннях використовується в записах і 10, 102 і 103 , і в числі 1111. При позначенні чисел більше 60 знаки, що виступають у новій якості, відрізнялися від старих тим, що символи розбивалися на "місця" або "позиції", і одиниці вищого порядку розташовувалися ліворуч. При такому способі запису для позначення скільки завгодно великих чисел не потрібно було інших символів, крім вже відомих. Наприклад, число 6789 можна було записати так:
